カードの問題の解答

さて、先日出したカードの問題の解答です。

問題はこちら

さて、解答なんだけど、これはカードを変えるべきである。
最初は三分の一で、次は二分の一だから変えても変えなくても一緒じゃないかと思うかもしれないが、それは間違い。
カードを変えない場合、当たる確率は三分の一、変えた場合は三分の二なのだ。

重要なのは、「出題者が当たりのカードを知っていて、２枚のうちはずれをめくった」ということだ。

ある人が選んだカードをAとして、残りの２枚をB、Cとして考えよう。

Aが当たりの場合とB、Cがあたりの場合に分けて考えよう。その時、出題者はある人がAを選んでいるので、それぞれ、B,Cをめくる２通りの行動が考えられる。
Aが当たりのとき
１．出題者がBをめくる
２．出題者がCをめくる
Bが当たりのとき
３．出題者はBが当たりなので、めくれないので、Cをめくる
４．出題者が普通にCをめくる
Cが当たりのとき
５．普通にBをめくる
６・Cが当たりなので、めくれないので、Bをめくる

つまり、全ての場合を考えると、この６通りなのだ。
さて、選んだカードを変える場合、１と２の場合は外れるが、３，４，５，６の場合は当たることになる。

つまり、最初に選んだカードが当たっていなければカードを変えれば当たるのだ。最初に選んだカードが外れる確率は、三分の二だから、それがそのまま当たる確率になる。というわけだ。

まだ納得できない人は、極端な例を考えてみよう。

カードが３枚ではなく、１万枚のときを考える。

ある人が１万枚の中から１枚選ぶ。
出題者が、残った９９９９枚の中から、
「これははずれです」と言って９９９８枚めくったとする。

残ったカードは最初にある人が選んだカードと、出題者が残した１枚だけ。

さぁカードを変えるべきか。。。

まぁ、俺だったら、三分の一とか普通に引くし、１万枚でも引くだろうと思って変えないけどね。

というわけなんですよ。